Question

设数列

y= 3 (x-1) x2+y2=1

满足a₁=1a_n+1-a_n=

1

2n

(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用“累加求和”和等比数列的前n项和公式即可得出；
（2）b_n=na_n=2n-

n

2n-1

，利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）当n≥2时，

an-an-1= 1 2n-1 an-1-an-2= 1 2n-2 … a2-a1= 1 2

∴an-a1=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

，
∴an=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)，
当n=1时，an=2(1-

1

2

)=1，成立，
∴通项a_n=2(1-

1

2n

)（n∈N^*）．
（2）b_n=na_n=2n-

n

2n-1

，
则S_n=b₁+b₂+…+b_n=2(1+2+…+n)-(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)
令An=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
则

1

2

An=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
可?得

1

2

An=1+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
An=4-

n+2

2n-1

，
则Sn=2×

n(1+n)

2

-4+

n+2

2n-1

=n2+n-4+

n+2

2n-1

．

点评：本题考查了“累加求和”、“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．