Question

17．S_n为数列的前n项和，已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n-1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得，又a_n＞0，即可求出．
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）依题意有${（{a_n}+1）^2}=4{S_n}$①，
当n=1时，（a₁-1）²=0，解得a₁=1，
当n≥2是，（a_n-1+1）²=4S_n-1，②，
①-②得（a_n+a_n-1）（a_n+a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-2=0（n≥2），
∴{a_n}成等差数列，得a_n=2n-1．
（2）${b_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．