Question

7．已知g（x）是定义在R上的奇函数，若函数f（x）=$\frac{2|x|+g（x）+2}{|x|+1}$（x∈R）有最大值为M，最小值为m，则M+m=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由题意令h（x）=$\frac{g（x）}{|x|+1}$，h（x）=$\frac{g（x）}{|x|+1}$的最大最小值分别为M-2，m-2，由奇函数的性质可得（M-2）+（m-2）=0，变形可得答案．

解答 解：∵函数y=g（x）为奇函数，∴g（-x）=-g（x），
f（x）=$\frac{2|x|+g（x）+2}{|x|+1}$=2+$\frac{g（x）}{|x|+1}$，
令h（x）=$\frac{g（x）}{|x|+1}$，则h（-x）=-$\frac{g（x）}{|x|+1}$=-h（x），即y=h（x）为奇函数，
∵函数f（x）=$\frac{2|x|+g（x）+2}{|x|+1}$（x∈R）有最大值为M，最小值为m
∴h（x）=$\frac{g（x）}{|x|+1}$的最大最小值分别为M-2，m-2，
由奇函数的性质可得（M-2）+（m-2）=0，
解得M+m=4．
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性，涉及函数的最值问题，属中档题．