Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与直线y=kx（k＞1）在第一象限的交点为A，B（$\sqrt{2}$，1），若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\sqrt{6}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求得交点A的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又圆O的方程为x²+y²=b²，
因为直线l：x-y+2=0与圆O相切，
故有b=$\frac{|2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
由a²=3c²=3（a²-b²），即a²=3．
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；                  
（2）设点A（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），则y₀=kx₀．
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{2{{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{6}k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$•$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
∴k=$\sqrt{2}$（k=0舍去）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相切的条件：d=r，同时考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查向量的数量积的坐标表示，属于中档题．