Question

(本小题满分14分)如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，分别是的中点，DE⊥面CBB₁.
(Ⅰ)证明：DE //面ABC；
(Ⅱ)求四棱锥与圆柱的体积比;
(Ⅲ)若,求与面所成角的正弦值.

Answer 1

解:证明:连结.
分别为的中点,∴.…2分
又，且.
∴四边形是平行四边形，
即.………………3分
∴.………………4分

∵，且由知.
∴,∴,∴.………………6分
因是底面圆的直径，得，且,
∴即为四棱锥的高. ………………………………7分
设圆柱高为，底半径为，则，,
∴.………………………………9分
解一：由可知，可分别以为
坐标轴建立空间直角标系，如图设，
则,,,
从而,
，由题设知是面的法向量，

设所求的角为.…………………………………12分则
.………………………………14分

解二：作过的母线，连结，则是上底
面圆的直径，连结，得，
又,∴，连结,
则为与面所成的角,
设，则,.(12分),
在中，.(14分)
 

略