Question

关于函数f(x)=2sinxcosx-2

3

cos2x，下列结论中不正确的是（　　）

• A、f（x）在区间(0，

  π

  4

  )上单调递增
• B、f（x）的一个对称中心为(

  π

  6

  ，-

  3

  )
• C、f（x）的最小正周期为π
• D、当x∈[0，

  π

  2

  ]时，f（x）的值域为[-2

  3

  ，0]

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：利用三角函数中的恒等变换应用可化简得f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

，利用正弦函数的单调性、对称性、周期性与定义域、值域对A、B、C、D四个选项逐一判断即可．

解答： 解：∵f（x）=sin2x-

3

（1+cos2x）=sin2x-

3

cos2x-

3

=2（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）-

3

=2sin（2x-

π

3

）-

3

，
对于A，由-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

2

得：-

π

12

≤x≤

5π

12

，
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

在区间[-

π

12

，

5π

12

]上单调递增，而（0，

π

4

）?[-

π

12

，

5π

12

]，
∴f（x）在区间（0，

π

4

）上单调递增，即A正确；
对于B，∵f（

π

6

）=2sin（2×

π

6

-

π

3

）-

3

=-

3

，
∴f（x）的一个对称中心为（

π

6

，-

3

）正确；
对于C，∵f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

的周期T=

2π

2

=π，故C正确；
对于D，当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，2sin（2x-

π

3

）∈[-

3

，2]，
∴f（x）的值域为[-2

3

，2-

3

]，故D错误．
综上所述，四选项中，只有D选项错误．
故选：D．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性、对称性、周期性与值域，考查分析转化与运算求解能力，属于中档题．