Question

已知函数f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，则函数g（x）=f（x）-x在区间[-5，5]上的零点之和为（　　）

• A、15
• B、16
• C、30
• D、32

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：对函数f（x）分“x≤0”“0＜x≤1”“1＜x≤2”“2＜x≤3”“3＜x≤4”“4＜x≤5”进行讨论，分别写出f（x）的表达式，并作出f（x）的图象，通过函数f（x）与直线y=x的交点情况，探求方程f（x）=x的实根，即得函数g（x）=f（x）-x的所有零点，从而求得所有零点之和．

解答： 解：根据函数f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，
（1）当x≤0时，f（x）=2^x-1，在函数g（x）=f（x）-x=2^x-1-x中，
由g（0）=0知，g（x）有零点x₀=0；
（2）当0＜x≤1时，-1＜x-1≤0，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-1，
由g（1）=f（1）-1=2^1-1-1=0，得g（x）有零点x₁=1；
（3）当1＜x≤2时，-1＜x-2≤0，f（x）=f（x-1）+1=[f（x-2）+1]+1=2^x-2+1，
由g（2）=f（2）-2=[2^2-2+1]-2=0，得g（x）有零点x₂=2；
（4）当2＜x≤3时，-1＜x-3≤0，同理得f（x）=2^x-3+2，
由g（3）=f（3）-3=[2^3-3+2]-3=0，得g（x）有零点x₃=3；
（5）当3＜x≤4时，-1＜x-4≤0，得f（x）=2^x-4+3，
由g（4）=f（4）-4=[2^4-4+3]-4=0，得g（x）有零点x₄=4；
（6）当4＜x≤5时，-1＜x-5≤0，得f（x）=2^x-5+4，
由g（5）=f（5）-5=[2^5-5+4]-5=0，得g（x）有零点x₅=5．
作出函数f（x）及y=x在[-5，5]的图象，两图象共6个公共点，如右图所示．
所以g（x）=f（x）-x在区间[-5，5]上的零点之和为0+1+2+3+4+5=15．
故答案为：A．

点评：本题考查了分段函数的图象，函数零点的判断与求解，关键是将函数的零点问题转化为对应方程的实根问题，并结合图象进行处理．