Question

10．函数f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为等边三角形．将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，将所得图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求h（x）=lg[g（x）-$\frac{5}{2}$]的定义域；
（3）若3sin²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$m[g（x）-1]≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图象求出f（x）的解析式，由图象变换规律可求函数g（x）的解析式；
（2）可得h（x）的解析式，解三角不等式可得定义域；
（3）不等式转化为m≤$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2}{3sin\frac{x}{2}+1}$，设t=3sin$\frac{x}{2}$+1，换元由函数的最值可得．

解答 解：（1）f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$=3×$\frac{1+cosωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$
=$\frac{3}{2}$cosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$sinωx）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∴A的纵坐标为$\sqrt{3}$，故周期T=2BC=4，∴ω=$\frac{2π}{T}$$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
g（x）=$\sqrt{3}$sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]+1=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+1；
（2）由题意可得g（x）-$\frac{5}{2}$＞0，即$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+1＞$\frac{5}{2}$，
∴sin$\frac{x}{2}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即2kπ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{x}{2}$＜2kπ+$\frac{2π}{3}$，
解得4kπ+$\frac{2π}{3}$＜x＜4kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
∴h（x）=lg[g（x）-$\frac{5}{2}$]的定义域为（4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z；
（3）由题意可得3sin²$\frac{x}{2}$-3msin$\frac{x}{2}$-m-2≥0，
∵x∈[0，2π]，∴$\frac{x}{2}$∈[0，π]，∴sin$\frac{x}{2}$∈[0，1]，
则m≤$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2}{3sin\frac{x}{2}+1}$，设t=3sin$\frac{x}{2}$+1，
则t∈[1，4]，sin=$\frac{t-1}{3}$，
y=$\frac{3（\frac{t-1}{3}）^{2}-2}{t}$=$\frac{{t}^{2}-2t-5}{3t}$=$\frac{1}{3}$（t-$\frac{5}{t}$-2）在t∈[1，4]上是增函数，
∴t=1时，y_min=-2，∴m≤-2

点评 本题考查三角函数的图象与性质，涉及函数值域的确定和转化思想，属中档题．