Question

设函数f（x）=a²-2-b²x（ab≠0），当-1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，当

a4+3

|b|

取得最小值时，a的值为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、±

  2

• D、±

  3

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用一次函数的单调性可得a²-b²≥2．再利用基本不等式可得

a4+3

|b|

≥

(b2+2)2+3

|b|

=|b|3+4|b|+

7

|b|

，令|b|=t＞0，g（t）=t3+4t+

7

t

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答：解：∵函数f（x）=a²-2-b²x（ab≠0），当-1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，
∴f（1）=a²-2-b²≥0，
化为a²-b²≥2．
∴

a4+3

|b|

≥

(b2+2)2+3

|b|

=|b|3+4|b|+

7

|b|

，
令|b|=t＞0，g（t）=t3+4t+

7

t

，
则g′(t)=3t2+4-

7

t2

=

3t4+4t2-7

t2

=

(3t2+7)(t2-1)

t2

，
令g′（t）=0，解得t²=1．
令g′（t）＞0，解得t²＞1，此时函数g（x）单调递增；令g′（t）＜0，解得0＜t²＜1，此时函数g（x）单调递减．
∴当t²=1时，函数g（t）取得最小值，g（1）=12．
此时a²=b²+2=1+2=3，解得a=±

3

．
故选：D．

点评：本题考查了一次函数的单调性、基本不等式、利用导数研究其单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．