Question

17．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=-x²+x．设f（x）在[n-1，n）上的最大值为a_n（n∈N^*），则a₃+a₄+a₅=（　　）

• A． 7
• B． $\frac{7}{8}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 14

Answer 1

分析 f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=-x²+x=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$．可得a₁=f（$\frac{1}{2}$），q=2，可得a_n，即可得出．

解答 解：∵f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，
当x∈[0，1）时，f（x）=-x²+x=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$．
a₁=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，q=2，
∴a_n=$\frac{1}{4}×{2}^{n-1}$=2^n-3，
∴a₃+a₄+a₅=1+2+2²=7．
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的单调性、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．