Question

定义：若

h(x)

xk

在[k，+∞）上为增函数，则称h（x）为“k次比增函数”，其中k∈N^*，已知f（x）=x³+2ax²+ax，g（x）=e^x-ax．
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函数”，又是“2次比增函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数g（x）在[m-1，m]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：探究型,导数的综合应用

分析：（1）应用条件f（x）是“1次比增函数”，又是“2次比增函数”，得出函数的单调性，再用导数推理，
（2）先探讨函数g（x）的单调性，再对m进行分类讨论．

解答： 解：（1）∵f（x）是“1次比增函数”，
∴

f(x)

x

=x²+2ax+a在[1，+∞）上为增函数，
∴-a≤1，∴a≥-1，
∵f（x）是“2次比增函数”，则

f(x)

x2

=x+

a

x

+2a在[2，+∞）为增函数，
则（x+

a

x

+2a）′=1-

a

x2

≥0在[2，+∞）恒成立，
∴a≤x²在[2，+∞）恒成立，∴a≤4，
综上a的取值范围为[-1，4]．
（2）当a=1时，函数g（x）=e^x-x
g′（x）=e^x-1，
由g′（x）＞0，得x＞0；由g′（x）＜0，得x＜0，
∴g（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
①当m-1＜0＜m，即0＜m＜1时，g（x）在[m-1，0]上单调递减，在[0，m]上单调递增，
∴g（x）_min=g（0）=1，
②当m-1≥0，即m≥0时，g（x）在[m-1，m]上单调递增，
∴g（x）_min=g（m-1）=e^m-1-m+1．
综上，当m-1＜0＜m，g（x）_min=1，
当m≥0时，∴g（x）_min=g（m-1）=e^m-1-m+1．

点评：本题主要考查函数与导数的关系，且此题也是一个创新题，读懂题目中的概念是解题的关键．