Question

13．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且btanA，ctanB，btanB成等差数列．
（1）求角A；
（2）若a=2，试判断当bc取最大值时△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由btanA，ctanB，btanB成等差数列，可得2ctanB=btanA+btanB，利用正弦定理化为cosA=$\frac{1}{2}$，由A∈（0，π），即可得出A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理结合基本不等式得答案．

解答 解：（1）∵btanA，ctanB，btanB成等差数列，
∴2ctanB=btanA+btanB，
∴2sinC•$\frac{sinB}{cosB}$=sinB•$\frac{sinA}{cosA}$+sinB•$\frac{sinB}{cosB}$，
化为sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，
∴sinC=2sinCcosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）由a²=b²+c²-2bc•cosA，
得$4={b}^{2}+{c}^{2}-2bc•cos\frac{π}{3}={b}^{2}+{c}^{2}-2bc•\frac{1}{2}$=b²+c²-bc≥bc，
当且仅当b=c时取等号，此时△ABC为等边三角形．

点评 本题考查了等差数列的性质、正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．