Question

3．已知函数f（x）=|x+1|+|x-m|（m＞0）．
（1）若f（x）≥5恒成立，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，记m的最小值是m₀，若$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$=m₀，则当a，b，c取何值时，a²+4b²+9c²取得最小值，并求出该最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的最小值，利用f（x）≥5恒成立，得到关于m的不等式，即可求m的取值范围；
（2）由柯西不等式可得（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$）（a²+4b²+9c²）≥（1+4+9）²，即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-m|≥|x+1-x+m|=|1+m|，
∵f（x）≥5恒成立，
∴|1+m|≥5，
∴1+m≤-5或1+m≥5，
∵m＞0，
∴m≥4；
（2）m的最小值是m₀=4，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$=4，
由柯西不等式可得（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$）（a²+4b²+9c²）≥（1+4+9）²，
∴a²+4b²+9c²≥49，当且仅当$\frac{\frac{1}{a}}{a}=\frac{\frac{2}{b}}{2b}=\frac{\frac{3}{c}}{3c}$，
即|a|=|b|=|c|=$\frac{\sqrt{14}}{2}$时a²+4b²+9c²取得最小值49．

点评 本题着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．