Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

（ω＞0）的最小正周期是π，将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g（

π

2

-A）=

4

5

，b=2，ABC的面积为3，求边长a的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用倍角公式降幂化积，由周期为π求得ω的值，然后利用图象变换求得g（x）的解析式；
（Ⅱ）把g(

π

2

-A)=

4

5

代入g（x）的解析式，求出cosA的值，进一步求出sinA的值，代入三角形的面积公式求出c的值，最后由余弦定理求得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx-

1

2

（ω＞0）
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx+

π

6

）．
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴

2π

2ω

=π，∴ω=1．
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数y=sin(x+

π

6

)的图象，再将所得函数图象向右平移

π

6

个单位，
得到函数y=sinx的图象，
故g（x）=sinx；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=sinx，∴g(

π

2

-A)=sin(

π

2

-A)=cosA=

4

5

，
∵0＜A＜π，∴sinA=

1-cos2A

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

．
∵△ABC的面积为3，∴

1

2

bcsinA=3，
又∵b=2，∴

1

2

×2•c•

3

5

=3，得c=5．
由a2=b2+c2-2bc•cosA=22+52-2×2×5×

4

5

=13．
得a=

13

．

点评：本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asinθ+bcosθ型的化积问题，训练了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．