Question

已知函数f（x）=2cos²

ωx

2

+cos（ωx+

π

3

）（其中ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=-

1

2

，c=3，△ABC的面积为6

3

，求a．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后根据周期公式及已知周期确定出ω的值，再利用正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递减区间；
（2）由（1）得出的解析式及已知f（A）=-

1

2

，确定出A的度数，由c，sinA，以及已知面积，利用三角形面积公式求出b的值，再由b，c，cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（1）由已知得f（x）=1+cosωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx=1+

3

2

cosωx-

3

2

sinωx=1-

3

sin（ωx-

π

3

），
∵最小正周期为π，ω＞0，即

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=1-

3

sin（2x-

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
则f（x）的递减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（2）由第一问及已知得到f（A）=1-

3

sin（2A-

π

3

）=-

1

2

，即sin（2A-

π

3

）=

3

2

，
∴2A-

π

3

=

π

3

或

2π

3

，即A=

π

3

或

π

2

，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A=

π

3

，
∵c=3，S_△ABC=6

3

，
∴

1

2

bcsinA=

1

2

×3b×

3

2

=6

3

，即b=8，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=64+9-24=49，
则a=7．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的单调性，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．