Question

7．已知$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=$2\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$…，类比推理得$\sqrt{m+\frac{n}{t}}$=m$\sqrt{\frac{n}{t}}$（m＞0，n＞0，t＞0），则t+$\frac{16}{n}$+2005的最小值等于2016．

Answer 1

分析 根据以上分析t=n²-1，可得t+$\frac{16}{n}$+2005=n²+$\frac{16}{n}$+2004=n²+$\frac{8}{n}$+$\frac{8}{n}$+2004，即可得出结论．

解答 解：根据以上分析可知$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$，
∴t=n²-1，
∴t+$\frac{16}{n}$+2005=n²+$\frac{16}{n}$+2004=n²+$\frac{8}{n}$+$\frac{8}{n}$+2004≥$3\root{3}{64}$+2004=2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查归纳推理，考出基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．