Question

（12分）设｛an｝是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和
（1）若Sn＝20，S2n＝40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p＋q＝2m，证明：不等式SpSq＜S成立；
（3）是否存在常数k和等差数列｛an｝，使ka－1＝S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，试求出常数k和数列｛an｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）S3n＝3 S2n－3 Sn＝60…
（2）略
（3）存在常数k＝及等差数列an＝n－使其满足题意

（1）在等差数列｛an｝中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列，
∴Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn）
∴S3n＝3 S2n－3 Sn＝60…………………………………………………………………4分
（2）SpSq＝pq（a1＋ap）（a1＋aq）
＝pq［a＋a1(ap＋aq)＋apaq］
＝pq（a＋2a1am＋apaq）＜（）2［a＋2a1am＋（）2］
＝m2（a＋2a1am＋a）＝［m（a1+am）］2
＝S………………………………………………………………………8分
（3）设an＝pn＋q（p，q为常数），则ka－1＝kp2n2＋2kpqn＋kq2－1
Sn+1＝p(n＋1)2＋（n＋1）
S2n＝2pn2＋（p＋2q）n
∴S2n－Sn+1＝pn2＋n－（p＋q），
依题意有kp2n2＋2kpqn＋kq2－1＝ pn2＋n－（p＋q）对一切正整数n成立，
∴
由①得，p＝0或kp＝；
若p＝0代入②有q＝0，而p＝q＝0不满足③，
∴p≠0
由kp＝代入②，
∴3q＝，q＝－代入③得，
－1＝－（p－），将kp＝代入得，∴P＝，
解得q＝－，k＝
故存在常数k＝及等差数列an＝n－使其满足题意…………………12分