Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.

（1）求曲线和的直角坐标方程；

（2）若曲线和有且仅有一个公共点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据三角恒等变换，把函数关系式变形，再通过消元求出函数的普通方程，根据，可将极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）联立方程进行化简得到，作出的图象，数形结合分析出与二次函数有一个交点时，的取值范围.

（1）由，可知曲线的直角坐标方程为，

其中，所以曲线的直角坐标方程为，，

由，可得，由，，

曲线的直角坐标方程为；

（2）由，可知，

令，其图象如下：

由曲线和有且仅有一个公共点，所以函数与的图象有且仅有一个公共点，所以由图象可知.