Question

极坐标系中，已知点A，B的极坐标分别为（1，0），（4，0），点P是平面内一动点，且|PB|=2|PA|，动点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）以极点为直角坐标系原点，极轴为x正半轴建立直角坐标系xOy，设点M（x，y）在曲线C上移动，求式子3x-4y+5的范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）设点P（ρ，θ），求出|AP|²和|BP|²的值，由|PB|=2|PA|，得ρ²+16-8ρcosθ=4（ρ²+1-2ρcosθ），化简可得曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）由互化公式，曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4，令z=3x-4y+5，则直线系3x-4y+10-z=0与圆x²+y²=4有公共点，故圆心（0，0）到直线3x-4y+10-z=0的距离小于或等于半径，由此求得z的范围．

解答： 解：（Ⅰ）设点P（ρ，θ），则|AP|²=（ρcosθ-1）²+（ρsinθ-0）²=ρ²+1-2ρcosθ，
|BP|²=（ρcosθ-4）²+（ρsinθ-0）²=ρ²+16-8ρcosθ，
由|PB|=2|PA|，得ρ²+16-8ρcosθ=4（ρ²+1-2ρcosθ），求得ρ=2，
所以曲线C的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅱ）由互化公式，曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4，令z=3x-4y+5，
则直线系3x-4y+10-z=0与圆x²+y²=4有公共点，
故圆心（0，0）到直线3x-4y+10-z=0的距离小于或等于半径，
即d=

|5-z|

32+42

=

1

5

|z-5|≤2，求得-5≤z≤15．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．