题目内容
已知点P是⊙M：（x+1）2+y2=16上的任意一点，点N（1，0），线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）已知直线l′与点Q的轨迹交于点A，B，且直线l′的方程为y=kx+
（k＞0），若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）已知直线l′与点Q的轨迹交于点A，B，且直线l′的方程为y=kx+
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考点：直线和圆的方程的应用,轨迹方程
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）连结QN，由椭圆定义知点Q的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，长轴长为2a=4，短轴长2b=2
的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．
（Ⅱ）联立
，整理，得(4k2+3)x2+8
kx=0，由此利用椭圆弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△OAB面积的最大值．
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（Ⅱ）联立
|
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解答：
解：（1）如图，如图，连结QN，
∵l是线段PN的垂直平分线，∴|QP|=|QN|，
∵|MP|=|MQ|+|QP|，∴|MQ|+|NQ|=4，
由椭圆定义知点Q的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，
长轴长为2a=4，短轴长2b=2
的椭圆，
其方程为
+
=1．
（Ⅱ）联立
，整理，得(4k2+3)x2+8
kx=0，
解得x1=0，x2=-
，
∵k＞0，
∴|AB|=
|x1-x2|=
•|-
|=
•
，
原点O到直线l′的距离为d=
，
∴S△OAB=
•
•
=
=
≤
=
，
当且仅当4k=
，即k=
时，
△OAB面积的最大值为2
．
∵l是线段PN的垂直平分线，∴|QP|=|QN|，
∵|MP|=|MQ|+|QP|，∴|MQ|+|NQ|=4，
由椭圆定义知点Q的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，
长轴长为2a=4，短轴长2b=2
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其方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）联立
|
| 3 |
解得x1=0，x2=-
8
| ||
| 4k2+3 |
∵k＞0，
∴|AB|=
| 1+k2 |
| 1+k2 |
8
| ||
| 4k2+3 |
| 1+k2 |
8
| ||
| 4k2+3 |
原点O到直线l′的距离为d=
| ||
|
∴S△OAB=
| 1 |
| 2 |
| 1+k2 |
8
| ||
| 4k2+3 |
| ||
|
| 12 |
| 4k2+3 |
=
| 12 | ||
4k+
|
| 12 | ||
4
|
| 3 |
当且仅当4k=
| 3 |
| k |
| ||
| 2 |
△OAB面积的最大值为2
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点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．
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