Question

设函数f_n（x）=xⁿ（1-x）²在[

1

2

，1]上的最大值为a_n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求函数f_n（x）的导函数f_n′（x），以及a₁，a₂；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并求证对任何正整数n（n≥2），都有a_n≤

1

(n+2)2

成立；
（Ⅲ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：对任意正整数n，都有S_n＜

7

16

成立．

Answer 1

考点：数列的求和,导数的运算

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，取n=1时得到当x∈[

1

2

，1]时，f₁'（x）≤0，即函数f₁（x）在[

1

2

，1]上单调递减，由此求得a₁的值．取n=2时，得到当x∈[

1

2

，1]时，f₂'（x）≤0，即函数f₂（x）在[

1

2

，1]上单调递减，由此求得a₂的值；
（Ⅱ）由导函数等于0求出导函数的零点，由单调性得到当n≥3时，f_n（x）在x=

n

n+2

处取得最大值，验证n=2时成立，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅲ）把a_n≤

1

(n+2)2

放大，然后列项求和，则不等式得到证明．

解答： （Ⅰ）解：∵f_n（x）=xⁿ（1-x）²，
∴fn′(x)=n•xn-1(1-x)2-2xn(1-x)=x^n-1（1-x）[n（1-x）-2x]．
当n=1时，f₁'（x）=（1-x）（1-3x），
当x∈[

1

2

，1]时，f₁'（x）≤0，即函数f₁（x）在[

1

2

，1]上单调递减，
∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，
当n=2时，f₂'（x）=2x（1-x）（1-2x），
当x∈[

1

2

，1]时，f₂'（x）≤0，即函数f₂（x）在[

1

2

，1]上单调递减，
∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

；
（Ⅱ）令f_n'（x）=0得x=1或x=

n

n+2

，
∵当n≥3时，

n

n+2

∈[

1

2

，1]，且当x∈[

1

2

，

n

n+2

）时，f_n'（x）＞0，
当x∈（

n

n+2

，1]时，f_n'（x）＜0，
故f_n（x）在x=

n

n+2

处取得最大值，
即当n≥3时，an=fn(

n

n+2

)=(

n

n+2

)n(

n

n+2

)2=

4nn

(n+2)n+2

，
当n=2时上式仍然成立，
综上得an=

1 8 (n=1) 4nn (n+2)n+2 (n≥2)

．
当n≥2时，要证

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，
只需证明(1+

2

n

)n≥4，
∵(1+

2

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

2

n

)+…+

C

n n

(

2

n

)n≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

=1+2+

2(n-1)

n

，
由n≥2，得2n≥n+2，则2n-2≥n，
∴

2(n-1)

n

≥1，
则(1+

2

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

2

n

)+…+

C

n n

(

2

n

)n≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

=1+2+

2(n-1)

n

≥1+2+1=4．
∴对任意n∈N^*（n≥2），都有a_n≤

1

(n+2)2

成立；
（Ⅲ）∵当n≥2时，有a_n≤

1

(n+2)2

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
∴S_n＜

1

8

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

11

24

-

1

n+2

＜

11

24

＜

7

16

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了数列的求和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．