Question

为了应对新疆暴力恐怖活动，重庆市警方从武警训练基地挑选反恐警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士（分别记为A、B、C、D）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、爆破的概率分别为

2

3

，

2

3

，

1

2

．这三项测试能否通过相互之间没有影响．
（1）求A能够入选的概率；
（2）规定：按入选人数得训练经费，每入选1人，则相应的训练基地得到5000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望（期望精确到个位）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（I）设A通过体能、射击、爆破分别记为事件M，N，P，且P（M）=

2

3

，P（N）=

2

3

，P（P）=

1

2

，由此能求出A能够入选的概率．
（Ⅱ）记X表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为Y=5000X，又X可能的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应在的概率，由此能求出该基地得到训练经费的分布列与数学期望．

解答： 解：（I）设A通过体能、射击、爆破分别记为事件M，N，P，
且P（M）=

2

3

，P（N）=

2

3

，P（P）=

1

2

，
∴A能够入选的概率：
p=P（MN

.

P

）+P（M

.

N

P）+P（

.

M

NP）+P（MNP）
=

2

3

×

2

3

×

1

2

+

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

2

3

×

2

3

×

1

2

=

2

3

．
（Ⅱ）记X表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为Y=5000X，
又X可能的取值为0，1，2，3，4．
P（X=0）=

C

0 4

(

2

3

)0(

1

3

)4=

1

81

，
P（X=1）=

C

1 4

(

2

3

)(

1

3

)3=

8

81

，
P（X=2）=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

24

81

，
P（X=3）=

C

3 4

(

2

3

)3(

1

3

)=

32

81

，
P（X=4）=

C

4 4

(

2

3

)4•(

1

3

)0=

16

81

，

X	0	1	2	3	4
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

∴训练经费Y=5000X的分布列为：

Y=5000X	0	5000	10000	15000	20000
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

EY=0×

1

81

+5000×

8

81

+10000×

24

81

+15000×

32

81

+20000×

16

81

≈13333（元）．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和期望的求法，是中档题，在历年高考中都有是必考题型．