题目内容
（Ⅰ）证明：f（x）=x+
在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）求证：tan2α-sin2α=tan2αsin2α
| 1 |
| x |
（Ⅱ）求证：tan2α-sin2α=tan2αsin2α
考点：三角函数恒等式的证明,函数单调性的性质
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）变形可判f（x1）＜f（x2），可得单调性；（Ⅱ）由三角函数公式且化弦，通分再弦化切可得．
解答：
证明：（Ⅰ）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=x1+
-（x2+
）
=x1-x2+
=（x1-x2）（1-
）
=（x1-x2）
，
∵x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，
∴（x1-x2）
＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）=x+
在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）左边=tan2α-sin2α=
-sin2α
=sin2α（
-1）=sin2α•
=sin2α•
=tan2αsin2α=右边，
∴命题得证．
∴f（x1）-f（x2）=x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=x1-x2+
| x2-x1 |
| x1x2 |
| 1 |
| x1x2 |
=（x1-x2）
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∵x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，
∴（x1-x2）
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∴f（x）=x+
| 1 |
| x |
（Ⅱ）左边=tan2α-sin2α=
| sin2α |
| cos2α |
=sin2α（
| 1 |
| cos2α |
| 1-cos2α |
| cos2α |
=sin2α•
| sin2α |
| cos2α |
∴命题得证．
点评：本题考查三角函数恒等式和函数的单调性的证明，属基础题．
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