题目内容
已知以a1为首项的数列{an}满足an+1=
．
（Ⅰ）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用数列a1表示数列{an}前100项的和S100；
（Ⅲ）当0＜a1＜
（m∈N*），c=
时，正整数d≥3m时，证明：数列a2-
，a3m+2-
，a6m+2-
，a9m+2-
成等比数列的充要条件是d=3m．
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（Ⅰ）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用数列a1表示数列{an}前100项的和S100；
（Ⅲ）当0＜a1＜
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| m |
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| 1 |
| m |
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| m |
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| m |
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考点：数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）当a1=1，c=1，d=3时，根据递推关系即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，分别求出数列的通项公式，即可用数列a1表示数列{an}前100项的和S100；
（Ⅲ）当0＜a1＜
（m∈N*），c=
时，正整数d≥3m时，分别判断数列a2-
，a3m+2-
，a6m+2-
，a9m+2-
的符号，根据等比数列的等价条件进行判断．
（Ⅱ）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，分别求出数列的通项公式，即可用数列a1表示数列{an}前100项的和S100；
（Ⅲ）当0＜a1＜
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
解答：
解：（Ⅰ）当a1=1，c=1，d=3时，an+1=
．
则由a1=1得a2=a1+1=2，a3=a2+1=3，a4=
a3=1，
即数列具备周期性周期为3，则数列的通项公式为an=
k∈N•；
（II）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，a2=a1+1，a3=a1+2，a4=a1+3，a5=
+1，a6=
+1，
a3k+2=
+1，a3k=
+2，a3k+1=
+3，
则数列{an}前100项的和S100=a1+（a2+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a98+a99+a100）
=a1+（3a1+6）+（a1+6+
+6）+…+（
+6）=a1[1+
]+6×33=
(11-
)+198．
（3）①当d=3m时，a2=a1+
；a3m=a1+
=a1+3-
＜3＜a1+3=a3m+1a3m+2=
+
，
a6m=
-
+3＜3＜
+3=a6m+1，a6m+2=
+
，
a9m=a6m+2+
=
+3-
＜3＜
+3=a9m+1，
a9m+2=
=
+
综上所述，当d=3m，数列a2-
，a3m+2-
，a6m+2-
，a9m+2-
是公比为
的等比数列．
②假设d≥3m+1，则a3m-1=a1+3∈(3，3+
)，a3m-2=
≤
＜
，
∴a3m+2∈（0，
），
又a6m+1=a3m+2+
∈(3-
，3)，
∴a6m+2=a6m+1++
=3+
∈(3，3+
)，
a6m+2=a6m+1+
=3+
∈(3，3+
)，
a6m+3=
∈(0，
)，a9m+2=a6m+3+
∈(3-
，3)，
则a2-
＞0，a3m+2-
＜0，a6m+2-
＞0，a9m+2-
＞0，
则a2-
，a3m+2-
，a6m+2-
，a9m+2-
不能成等比数列，
故假设不成立．
|
则由a1=1得a2=a1+1=2，a3=a2+1=3，a4=
| 1 |
| 3 |
即数列具备周期性周期为3，则数列的通项公式为an=
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（II）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，a2=a1+1，a3=a1+2，a4=a1+3，a5=
| a1 |
| 3 |
| a1 |
| 3 |
a3k+2=
| a1 |
| 3k+1 |
| a1 |
| 3k |
| a1 |
| 3k-1 |
则数列{an}前100项的和S100=a1+（a2+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a98+a99+a100）
=a1+（3a1+6）+（a1+6+
| a1 |
| 3 |
| a1 |
| 331 |
3-
| ||
1-
|
| a1 |
| 2 |
| 1 |
| 332 |
（3）①当d=3m时，a2=a1+
| 1 |
| m |
| 3m-1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| a1 |
| 3m |
a6m=
| a1 |
| 3m |
| 1 |
| m |
| a1 |
| 3m |
| a1 |
| 9m2 |
| 1 |
| m |
a9m=a6m+2+
| 3m-2 |
| m |
| a1 |
| 9m2 |
| 1 |
| m |
| a1 |
| 9m2 |
a9m+2=
| ||
| 3m |
| a1 |
| 27m3 |
| 1 |
| m |
综上所述，当d=3m，数列a2-
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| 3m |
②假设d≥3m+1，则a3m-1=a1+3∈(3，3+
| 1 |
| m |
| a1+3 |
| d |
| a1+3 |
| 3m+1 |
| ||
| 3m+1 |
∴a3m+2∈（0，
| 1 |
| m |
又a6m+1=a3m+2+
| 3m-1 |
| m |
| 1 |
| m |
∴a6m+2=a6m+1++
| 1 |
| m |
| a1+3 |
| d |
| 1 |
| m |
a6m+2=a6m+1+
| 1 |
| m |
| a1+3 |
| d |
| 1 |
| m |
a6m+3=
| a3m+2 |
| d |
| 1 |
| m |
| 3m-1 |
| m |
| 1 |
| m |
则a2-
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
则a2-
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
故假设不成立．
点评：本题主要考查递推数列的应用，综合性较强，难度较大．
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