Question

1．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n+1成立，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （1）根据已知得到关于d 的方程解出公差；
（2）利用数列通项与前n项和的关系得到数列{c_n}的通项公式，然后求和．

解答 解（1）由已知有a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2（d=0舍）．
∴a_n=2n-1，又b₂=a₂=3，b₃=a₃=9，∴数列{b_n}的公比为3，∴b_n=3^n-1；
（2）由{c_n}对n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n+1成立得当n≥2时，{c_n}对n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=a_n成立，
两式相减得：当n≥2时，$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n+1-a_n=2．
∴c_n=2b_n=2•3^n-1（n≥2）．
又当n=1时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$=a₂，∴c₁=3，
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2×{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₆
=3+（-3+3²⁰¹⁶）=3²⁰¹⁶

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式的求法以及数列求和；本题注意数列{c_n}的通项公式的表示；属于中档题．