Question

6．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E为BB₁的中点，F为AC的中点，AA₁=2AB．
（1）求证：BF∥平面AEC₁；
（2）求证：平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C交AC₁于O，连接OE，OF，通过证明四边形BEOF是平行四边形得出BF∥OE，故而BF∥平面AEC₁；
（2）根据面面垂直的性质得出BF⊥平面ACC₁A₁，故而OE⊥平面ACC₁A₁，于是结论得证．

解答 证明：（1）连接A₁C交AC₁于O，连接OE，OF．
∵四边形ACC₁A₁是矩形，
∴O是AC₁的中点，又F是AC的中点，
∴OF∥CC₁且OF=$\frac{1}{2}$CC₁，
∵E为BB₁的中点，四边形BCC₁B₁是矩形，
∴BE∥CC₁，BE=$\frac{1}{2}$CC₁，
∴OF∥BE，OF=BE．
∴四边形BEOF是平行四边形，
∴BF∥OE，又BF?平面AEC₁，OE?平面AEC₁，
∴BF∥平面AEC₁．
（2）∵△ABC是等边三角形，F是AC的中点，
∴BF⊥AC，
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，BF⊥AC，BF?平面ABC，
∴BF⊥平面ACC₁A₁，
又OE∥BF，
∴OE⊥平面ACC₁A₁，又OE?平面AEC₁，
∴平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定定理，属于中档题．