Question

11．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点R．
（I）若对数函数y=lgx图象经过点F，求抛物线C方程；
（II）$\frac{|AB|}{|BF|}$恒为定值吗？如果是，求出该值，如果不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由对数函数y=lgx图象经过点F求出F的纵坐标，得到p，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）由题意可知，直线AB的斜率存在，设AB所在直线方程为y=k（x-1），联立直线方程和抛物线方程，由抛物线弦长公式求得|AB|，求出B的横坐标，再由焦半径公式求得|BF|，作商后可知$\frac{|AB|}{|BF|}$不是定值．

解答 解：（Ⅰ）由对数函数y=lgx图象经过点F，可得F（1，0），
∴$\frac{p}{2}=1$，即p=2，则抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）如图，
由题意可知，直线AB的斜率存在，设AB所在直线方程为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}+2=\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
由x₁x₂=1，得${x}_{1}=\frac{1}{{x}_{2}}$，∴$\frac{1}{{x}_{2}}+{x}_{2}+2=\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}=4+\frac{4}{{k}^{2}}$，
解得：${x}_{2}=1+\frac{2}{{k}^{2}}±\frac{2}{{k}^{2}}\sqrt{{k}^{2}+1}$．
∴|BF|=${x}_{2}+\frac{p}{2}=1+\frac{2}{{k}^{2}}±\frac{2}{{k}^{2}}\sqrt{{k}^{2}+1}+1$=$2（1+\frac{1}{{k}^{2}}±\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}）$．
则$\frac{|AB|}{|BF|}$=$\frac{\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}}{2\frac{{k}^{2}+1±\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}}$=$\frac{2（{k}^{2}+1）}{（{k}^{2}+1）±\sqrt{{k}^{2}+1}}$，不是定值．

点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，是中档题．