Question

已知函数f（x）=x-

1

x

（x≠0）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，+∞）为单调增函数；
（Ⅲ）求满足f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求出定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较即可得到奇偶性；
（Ⅱ）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号、下结论等步骤；
（Ⅲ）讨论x＞0，x＜0，求出f（x）的零点，再由单调性即可解得所求取值范围．

解答： （Ⅰ）解：定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，
由于f（-x）=-x+

1

x

=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
（Ⅱ）证明：任取x1＞x2＞0，f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)＞0，
所以f（x）在（0，+∞）为单调增函数；
（Ⅲ）解：f（x）=0解得x=±1，所以零点为±1，
当x＞0时，由（Ⅱ）可得f（x）＞0即f（x）＞f（1）的x的取值范围为（1，+∞），
又该函数为奇函数，所以当x＜0时，由（Ⅱ）可得f（x）＞0即f（x）＞f（-1）的x的取值范围为（-1，0），
综上：所以x-

1

x

＞0解集为（-1，0）∪（1，+∞）．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，考查运算能力，属于中档题和易错题．