题目内容
已知Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，且Sn=
（n∈N*）
（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn+an，求证：数列{bn+n+1}是等比数列．
| an2+an |
| 2 |
（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn+an，求证：数列{bn+n+1}是等比数列．
考点：等比关系的确定,数列递推式
专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法
分析：（Ⅰ）根据Sn=
，再写一式，两式相减，可得an-an-1=1，即可证明数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）设cn=bn+n+1，旅游等比数列的定义，即可证明数列{bn+n+1}是等比数列
| an2+an |
| 2 |
（Ⅱ）设cn=bn+n+1，旅游等比数列的定义，即可证明数列{bn+n+1}是等比数列
解答：
证明：（I）由Sn=
(n∈N*)知，
当n=1时，2a1=
+a1，解得a1=1或a1=0（舍去）…（1分）
当n≥2时，2Sn=
+an…①2Sn-1=
+an-1…②…（2分）
①-②得，2an=
-
+an-an-1，即an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）…（4分）
又∵an＞0，∴an-an-1=1，…（5分）
∴{an}是以1为公差，首项等于1的等差数列；…（6分）
（II）由（I）知an=n，则bn+1=2bn+n，…（7分）
设cn=bn+n+1，
则cn+1=bn+1+（n+1）+1=（2bn+n）+n+2=2（bn+n+1）=2cn…（10分）
又∵c1=b1+1+1=4…（11分）
∴数列{cn}是以4为首项，2为公比的等比数列，即数列{bn+n+1}是等比数列．…（12分）
| ||
| 2 |
当n=1时，2a1=
| a | 2 1 |
当n≥2时，2Sn=
| a | 2 n |
| a | 2 n-1 |
①-②得，2an=
| a | 2 n |
| a | 2 n-1 |
又∵an＞0，∴an-an-1=1，…（5分）
∴{an}是以1为公差，首项等于1的等差数列；…（6分）
（II）由（I）知an=n，则bn+1=2bn+n，…（7分）
设cn=bn+n+1，
则cn+1=bn+1+（n+1）+1=（2bn+n）+n+2=2（bn+n+1）=2cn…（10分）
又∵c1=b1+1+1=4…（11分）
∴数列{cn}是以4为首项，2为公比的等比数列，即数列{bn+n+1}是等比数列．…（12分）
点评：本题考查等差数列、等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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