Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，可得周期T=

2π

2

=π；（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ解不等式可得单调递增区间；（Ⅲ）由x∈[0，

2π

3

]可得2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7

6

π]，进而可得sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，可得f(x)∈[0，

3

2

]．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

）
=

1-cos2x

2

+

3

sinxcosx=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，可得周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈z
∴函数f（x）的单调递增区间是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈z；
（Ⅲ）由x∈[0，

2π

3

]可得2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7

6

π]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，∴f(x)∈[0，

3

2

]，
∴函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围为[0，

3

2

]．

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．