Question

如图，己知斜率为1的直线l与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3），设右焦点为F，|DF|•|BF|=17．
（Ⅰ）求C的离心率；   
（Ⅱ）求双曲线C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．
（Ⅱ）利用离心率将条件|BF|•|FD|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，从而可得双曲线C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，
得（b²-a²）x²-4a²x-a²b²-4a²=0，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4a2

b2-a2

，x₁x₂=-

4a2+a2b2

b2-a2

，①
由M（1，3）为BD的中点知x₁+x₂=2．
故

4a2

b2-a2

=2，即b²=3a²，所以离心率e=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线方程为3x²-y²=3a²，A（a，0），F（2a，0），
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a，|BF|=

(x1-2a)2+y12

=a-2x₁，|FD|=

(x2-2a)2+y22

=2x₂-a
|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²=5a²+4a+8．
又|BF|•|FD|=17，故5a²+4a+8=17．
解得a=1，或a=-

9

5

（舍去），
故双曲线方程为x2-

y2

3

=1

点评：本题考查了圆锥曲线、直线与双曲线的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．