Question

对于定义在实数集R上的两个函数f（x），g（x），若存在一次函数h（x）=kx+b使得，对任意的x∈R，都有f（x）≥h（x）≥g（x），则把函数h（x）的图象叫函数f（x），g（x）的“分界线”．现已知f（x）=（2x+2）e^x（e为自然对数的底数），g（x）=-x²+4x+1，又函数f（x），g（x）的一条“分界线”过点（0，1），则这条“分界线”的函数解析式为

 

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Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：设h（x）=kx+1，利用h（x）≥g（x）得出k=4，再证明f（x）≥4x+1恒成立，设F（x）=f（x）-（4x+1）=（2x+2）e^x-4x-1，利用导数工具求得F（x）_min=F（0）=1≥0，满足要求．

解答： 解：设h（x）=kx+1，h（x）≥g（x）成立等价于x²+（k-4）x≥0恒成立，
∴△=（k-4）²≤0，解得k=4，
所以h（x）=4x+1．
下面证明f（x）≥4x+1恒成立．
设F（x）=f（x）-（4x+1）=（2x+2）e^x-4x-1，
则F′（x）=（2x+4）e^x-4，
当x=0时，F′（x）=0，当x＞0时，F′（x）＞0，当x＜0时，F′（x）＜0，
所以x=0是F（x）的极小值点，也是最小值点，∴F（x）≥F（0）=1≥0，
所以h（x）=4x+1满足要求．
故答案为：h（x）=4x+1

点评：本题考查导数在求函数最大值和最小值中的应用和用导数讨论函数的单调性，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．