Question

判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=

1-x2

|x+2|-2

；
（2）f（x）=(

1

2x-1

+

1

2

)•x；
（3）f（x）=lg（

x2+1

-x）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求函数的定义域，再对解析式化简，判断f（-x）与f（x）的关系，结合奇偶性的定义，可得答案；
（2）先求函数的定义域，将解析式化简，判断f（-x）与f（x）的关系，结合奇偶性的定义，可得答案；
（3）先求函数的定义域，根据对数的运算性质判断f（-x）与f（x）的关系，结合奇偶性的定义，可得答案；

解答： 解：（1）由

1-x2≥0 |x+2|-2≠0

得，-1≤x≤1且x≠0，
∴函数的定义域是{x|-1≤x≤1且x≠0}，
则f(x)=

1-x2

|x+2|-2

=

1-x2

x

，
则f（-x）=

1-x2

-x

=-

1-x2

x

=-f（x），
∴函数f(x)=

1-x2

|x+2|-2

是奇函数；
（2）由2^x-1≠0得，x≠0，则函数的定义域是{x|x≠0}，
∵f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)•x=

2+2x-1

2(2x-1)

•x=

2x+1

2(2x-1)

•x，
∴f（-x）=

2-x+1

2(2-x-1)

•(-x)=

2x+1

2(1-2x)

•(-x)=

2x+1

2(2x-1)

•x=f（x），
∴函数f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)•x是偶函数，
（3）由

x2+1

-x＞得，函数的定义域是R，
又∵f（-x）=lg（

x2+1

+x）=lg

1

x2+1 -x

=-f（x），
∴函数f（x）=lg（

x2+1

-x）是奇函数．

点评：本题主要考查了复杂函数奇偶性的判断，首先要求定义域，确定定义域是否关于原点对称，再对解析式化简后，通过f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）判断出函数的奇偶性．