Question

7．设数列{a_n}满足$\frac{a_1}{9}+\frac{a_2}{7}+\frac{a_3}{5}+…+\frac{a_n}{11-2n}$=n
（1）求数列{a_n}的通项公式；   
（2）求数列{|a_n|}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得a_n；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，可得S_n=10n-n²．令a_n=11-2n≥0，解得n≤5．当n≤5时，数列{|a_n|}前n项和T_n=S_n．当n≥6时，数列{|a_n|}前n项和T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n=2S₅-S_n，即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足$\frac{a_1}{9}+\frac{a_2}{7}+\frac{a_3}{5}+…+\frac{a_n}{11-2n}$=n，
∴当n=1时，$\frac{{a}_{1}}{9}$=1，解得a₁=9．
当n≥2时，$\frac{{a}_{1}}{9}+\frac{{a}_{2}}{7}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{13-2n}$=n-1，
相减可得：$\frac{{a}_{n}}{11-2n}$=1，
∴a_n=11-2n．当n=1时也成立．
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，可得S_n=$\frac{n（9+11-2n）}{2}$=10n-n²．
令a_n=11-2n≥0，解得n≤5．
∴当n≤5时，数列{|a_n|}前n项和T_n=S_n=10n-n²．
当n≥6时，数列{|a_n|}前n项和T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n
=2S₅-S_n
=50-10n+n²．
综上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、分类讨论方法、含绝对值数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．