Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点M、N．若以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点作一双曲线恰为等轴双曲线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设L为过椭圆右焦点N的直线，交椭圆于P、Q两点，当△MPQ周长为8时；求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等轴双曲线的性质，即可求得b=c，则a=$\sqrt{2}$c，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率；
（2）方法一：由4a=8，求得椭圆方程，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可表达出△MPQ面积，换元根据基本不等式的性质，即可求得△MPQ面积的最大值．
方法二：根据对称性，设直线PQ的倾斜角，直线L的方程代入椭圆方程，由椭圆的焦点弦公式，利用韦达定理及基本不等式的性质，即可求得△MPQ面积的最大值；
方法三：根据对称性，设直线PQ的倾斜角，直线L的方程代入椭圆方程，由弦长公式，利用韦达定理及基本不等式的性质，即可求得△MPQ面积的最大值；

解答 解：（1）由题意双曲线为$\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$为等轴双曲线，
则b=c，a²=b²+c²=2c²，即a=$\sqrt{2}$c，
∴椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴椭圆的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$；（4分）
（2）方法一：△MPQ周长为4a=8，则椭圆为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，（6分）
设PQ为$x=ny+\sqrt{2}$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=ny+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：$（{{n^2}+2}）{y^2}+2\sqrt{2}ny-2=0$（8分）
由韦达定理$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=-\frac{{2\sqrt{2}n}}{{{n^2}+2}}}\\{{y_1}•{y_2}=-\frac{2}{{{n^2}+2}}}\end{array}}\right.$，则丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{n}^{2}+1}}{{n}^{2}+2}$，
$⇒{S_△}=\frac{1}{2}|{MN}||{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{4\sqrt{2}\sqrt{{n^2}+1}}}{{{n^2}+2}}$（10分）
令t=$\sqrt{{n}^{2}+1}$≥1；则${S_△}=\frac{{4\sqrt{2}t}}{{{t^2}+2}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{{t+\frac{1}{t}}}≤2\sqrt{2}$．（显然当t=1，即n=0时最大），
△MPQ面积的最大值2$\sqrt{2}$．（12分）
法二：由对称性，不妨设PQ的倾斜角为α∈（0，$\frac{π}{2}$]．△MPQ面积S，S=$\frac{1}{2}$丨MN丨sinα丨PQ丨，
△MPQ周长为8时可得：椭圆为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
∴${y_1}+{y_2}=-\frac{{2\sqrt{2}n}}{{{n^2}+2}}；{y_1}•{y_2}=-\frac{2}{{{n^2}+2}}$，
设PQ为$x=ny+\sqrt{2}$其中$n=\frac{1}{tanα}$代入椭圆得$（{{n^2}+2}）{y^2}+2\sqrt{2}ny-2=0$，
又焦点弦$|{PQ}|=a-e{x_1}+a-e{x_2}=2a-e（{n{y_1}+\sqrt{2}}）-e（{n{y_2}+\sqrt{2}}）$，
又焦点弦$|{PQ}|=a-e{x_1}+a-e{x_2}=2a-e（{n{y_1}+\sqrt{2}}）-e（{n{y_2}+\sqrt{2}}）$，
=2a-2$\sqrt{2}$e-ne（y₁+y₂），
=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$n（y₁+y₂），
=2+$\frac{2{n}^{2}}{{n}^{2}+2}$，
=2+$\frac{2}{1+2ta{n}^{2}α}$，
=$\frac{4}{1+si{n}^{2}α}$，
∴${S_△}=\frac{{4\sqrt{2}sinα}}{{1+{{sin}^2}α}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{{sinα+\frac{1}{sinα}}}≤2\sqrt{2}$，显然α=90°时取最大．
△MPQ面积的最大值2$\sqrt{2}$．
法三：△MPQ周长为8时即4a=8，a=2可得：椭圆为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
由对称性，不妨设PQ的倾斜角为α∈（0，$\frac{π}{2}$]．△MPQ面积S，S=$\frac{1}{2}$丨MN丨sinα丨PQ丨，
又丨PQ丨=$\frac{eP}{1-ecosα}$+$\frac{eP}{1+ecosα}$（其中$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，P=\frac{b^2}{c}=\sqrt{2}$），
$|{PQ}|=\frac{1}{{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosα}}+\frac{1}{{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosα}}=\frac{2}{{1-\frac{1}{2}{{cos}^2}α}}=\frac{4}{{1+{{sin}^2}α}}$，
${S_△}=\frac{{4\sqrt{2}sinα}}{{1+{{sin}^2}α}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{{sinα+\frac{1}{sinα}}}≤2\sqrt{2}$，显然α=90°时取最大．
△MPQ面积的最大值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式性质，考查计算能力，属于中档题．