Question

已知函数f（x）

1-x

ax

+lnx，（a≠0）
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在区间(

1

2

，2)上的值域；
（3）当a=1时，问：是否存在正整数M，使得当自然数n≥M时，恒有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

成立？若存在，求出M的最小值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，即可求a的范围；
（2）利用导数判断函数f（x）在区间(

1

2

，2)上的单调性，进而求出最值，得出值域；
（3）先证明lnx≥1-

1

x

，再将x用

n

n-1

替代，即可证得结论．

解答： 解：（1）∵f（x）

1-x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

-ax-a(1-x)

(ax)2

+

1

x

=

x- 1 a

x2

，
∴当x≥

1

a

时，f′（x）≥0，f（x）在[

1

a

，+∞）上是增函数，
要使函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有

1

a

≤1，即a＜0或a≥1，
∴a的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）．
（2）当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
∴x∈（

1

2

，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，2）时，f′（x）＞0．
∴当x=1时，f（x）_min=f（1）=0，
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）-f（2）=ln

e e

4

＞0，
∴f（x）在区间(

1

2

，2)上的值域是[0，1-ln2）．
（3）证明：由（2）知，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0即

1-x

x

+lnx≥0，
∴lnx≥1-

1

x

（当且仅当x=1时取“=”）
∴当n≥2时，将x用

n

n-1

替代得ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

=

1

n

，
∴ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
∴M_min=2．

点评：本题主要考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．