Question

3．为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80）中的人数为20．

	男生	女生	合计
优秀
不优秀
合计

（Ⅰ）求a和n的值；
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数$\overline x$和中位数m；
（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．
参考公式和数据：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

P（K2≥k）	0.50	0.05	0.025	0.005
k	0.455	3.841	5.024	7.879

Answer 1

分析 （Ⅰ）10a=1-（0.005+0.01+0.015+0.02）×10，求a，即可n的值；
（Ⅱ）利用组中值，估计该校高二学生物理成绩的平均数$\overline x$和中位数m；
（Ⅲ）求出K²，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）10a=1-（0.005+0.01+0.015+0.02）×10，∴a=0.05，
n=$\frac{20}{10×0.05}$=40
求a和n的值；
（Ⅱ）由题意，各组的频率分别为0.05，0.2，0.5，0.15，0.1，
∴$\overline{x}$=55×0.05+65×0.2+75×0.5+85×0.15+95×0.1=75.5．
设中位数为m，则（m-70）×0.05=0.5-（0.05+0.2），∴m=75；
（Ⅲ）由题意，优秀的男生为6人，女生为4人，不优秀的男生为10人，女生为20人，
2×2列联表

	男生	女生	合计
优秀	6	4	10
不优秀	10	20	30
合计	16	24	40

K²=$\frac{40×（6×20-4×10）^{2}}{16×24×10×30}$≈2.222＜3.841，
∴没有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．

点评 本题考查频率直方图，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，考查学生的数据处理能力，属于中档题．