Question

7．已知函数f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$．
（1）判断f（x）奇偶性和单调性，并求出f（x）的单调区间
（2）设h（x）=$\frac{1}{x}$-f（x），求证：函数y=h（x）在区间（-1，0）内必有唯一的零点t，且-1＜t＜-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的定义域，利用定义判断f（x）的奇偶性；再根据基本初等函数的单调性判断f（x）在定义域（-1，1）的单调性，并写出单调区间；
（2）先判断函数h（x）是定义域（-1，0）∪（0，1）上的奇函数，且在每个区间上单调递减，再利用根的存在性定理判断函数y=h（x）在区间（-1，0）上有且仅有唯一零点t，且满足条件即可．

解答 解：（1）由函数f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$，得$\frac{1+x}{1-x}$＞0，解得-1＜x＜1；
∴f（x）的定义域是（-1，1）；
任取x∈（-1，1），则f（-x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$=-lg$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；
又f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$=lg$\frac{2-（1-x）}{1-x}$=lg（$\frac{2}{1-x}$-1），
设g（x）=$\frac{2}{1-x}$-1，x∈（-1，1），
则g（x）是定义域上的单调递增函数，
∴f（x）在定义域上也是单调递增函数，且单调增区间为（-1，1）；
（2）证明：由（1）知h（x）=$\frac{1}{x}$-f（x）=$\frac{1}{x}$-lg$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{1}{x}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$，
可求得函数h（x）的定义域为D=（-1，0）∪（0，1）；
对任意x∈D，有h（x）+h（-x）=$\frac{1}{x}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$+$\frac{1}{-x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$=0，
所以，函数y=h（x）是奇函数；
当x∈（0，1）时，$\frac{1}{x}$在（0，1）上单调递减，$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$在（0，1）上单调递减，
于是，lg$\frac{1-x}{1+x}$在（0，1）上单调递减；
因此，函数y=h（x）在（0，1）上单调递减，
依据奇函数的性质，可知，
函数y=h（x）在（-1，0）上单调递减，且在（-1，0）上的图象也是不间断的光滑曲线；
又h（-$\frac{1}{2}$）=-2+lg3＜0，
h（-$\frac{99}{100}$）=-$\frac{100}{99}$＞2-$\frac{100}{99}$＞0，
所以，函数y=h（x）在区间（-1，0）上有且仅有唯一零点t，且-1＜t＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数性质与应用问题，也考查了根的存在性定理的应用问题，是综合性题目．