Question

18．已知集合A={直线|直线l的方程是（3m+1）x+（1-m）y-2-2m=0}，集合B={直线|直线l是y=x³的切线}，则A∩B=（　　）

• A． {（x，y）|3x-y-2=0}
• B． {（1，1）}
• C． {（x，y）|3x-4y+1=0}
• D． {（x，y）|x-y=0}

Answer 1

分析 先根据集合A，得到直线l恒过点（1，1），再根据集合B，根据导数的几何意义求出直线l的方程，问题得以解决．

解答 解：（3m+1）x+（1-m）y-2-2m=0，即m（3x-y-2）+x+y-2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直线l恒过点（1，1），
∵直线l是y=x³的切线，设切点为（x₀，x₀³）
∴y′=3x²，
∴k=3x₀²=$\frac{{{x}_{0}}^{3}-1}{{x}_{0}-1}$，
解得x₀=1（舍去），或x₀=-$\frac{1}{2}$，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴直线l为y-1=$\frac{3}{4}$（x-1），即3x-4y+1=0，
∴A∩B={（x，y）|3x-4y+1=0}，
故选：C

点评 本题借助集合的思想，考查了直线恒过定点以及曲线的切线方程，属于中档题．