题目内容
14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax3+$\frac{1}{2}$（a+1）x2-（a+2）x+6，a∈R．（1）若f（x）在x=-3处取得极大值，是否存在极小值？若存在求出极小值．若不存在说明理由；
（2）若函数f（x）在R上单调，求a的取值范围．
分析 （1）根据f′（-3）=0，求出a的值，从而求出函数的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）结合题意得到f'（x）≥0或者f'（x）≤0，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式，解出即可．
解答 解：（1）f'（-3）=0，得a=1．…（2分）
得f'（x）=x2+2x-3，令f'（x）=0，得x=-3，或x=1，…（4分）
在（-∞，-3），（1，+∞）上 f'（x）＞0，
在（-3，1）上，f'（x）＜0，
所以可知在x=1处有极小值，
${y_{极小值}}=f（1）=\frac{13}{3}$，…（6分）
（2）因为单调，所以f'（x）≥0或者f'（x）≤0，
f'（x）=ax2+（a+1）x-（a+2），
当a=0时，f'（x）=x-2，不符题意…..（8分）
当a≠0时，f'（x）=ax2+（a+1）x-（a+2）表示二次函数，
f'（x）≥0或者f'（x）≤0，所以与x轴有一个交点或者没有交点，
所以ax2+（a+1）x-（a+2）=0至多一个根，
所以△≤0，所以$\frac{{-5-2\sqrt{5}}}{5}≤a≤\frac{{-5+2\sqrt{5}}}{5}$…（12分）
点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
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如图，A，B，C，H四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，A，B，C三人围成一个三角形，B，H，C三人共线，H在B，C两人之间．B，C两人相距10m，A，H两人相距hm，AH与BC垂直．
2．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f（x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则$\frac{f（1）}{f（2）}$的范围为（ ）
| A． | （$\frac{1}{2{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$） | B． | （$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$） | C． | （e，2e） | D． | （e，e3） |
3．
为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80）中的人数为20．
（Ⅰ）求a和n的值；
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数$\overline x$和中位数m；
（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．
参考公式和数据：K2=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80）中的人数为20．| 男生 | 女生 | 合计 | |
| 优秀 | |||
| 不优秀 | |||
| 合计 |
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数$\overline x$和中位数m；
（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．
参考公式和数据：K2=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
| P（K2≥k） | 0.50 | 0.05 | 0.025 | 0.005 |
| k | 0.455 | 3.841 | 5.024 | 7.879 |
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=1，∠BAD=60°．