Question

8．已知函数f（x）=$\frac{e^x}{x}$-a（x-lnx）．
（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出f′（1），f（1），代入直线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）问题转化为即y=e^x和y=ax在（0，1）上有交点，结合图象求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，${f^/}（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}-1+\frac{1}{x}$，
f′（1）=0，f（1）=e-1．
∴方程为y=e-1． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}-a（1-\frac{1}{x}）$
=$\frac{{{e^x}（x-1）-ax（x-1）}}{x^2}$
=$\frac{{（{e^x}-ax）（x-1）}}{x^2}$．
当a≤0时，对于?x∈（0，+∞），e^x-ax＞0恒成立，
令f′（x）＞0⇒x＞1，令f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，
则f′（x）=$\frac{{（e}^{x}-ax）（x-1）}{{x}^{2}}$=0在（0，1）内有解，
∴e^x-ax=0在（0，1）内有解，即y=e^x和y=ax在（0，1）上有交点，
如图示：
，
x=1时，y=e^x=e，故a＞e或a＜0．

点评 本题考查了求曲线的切线方程问题，考查导数的应用，函数的单调性问题，考查数形结合思想，是一道中档题．