Question

13．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+{x^2}（a＞0）$．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若存在实数x₀∈（-1，0），且${x_0}≠-\frac{1}{2}$，使得$f（{x_0}）=f（-\frac{1}{2}）$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）根据函数的单调性得到关于a的不等式组，结合图象解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ax²+2x，
令f′（x）=0得x₂=0，${x_3}=-\frac{2}{a}$．

x	$（-∞，-\frac{2}{a}）$	$-\frac{2}{a}$	$（-\frac{2}{a}，0）$	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴函数y=f（x）的极大值为$f（-\frac{2}{a}）=\frac{1}{3}a•{（-\frac{2}{a}）^3}+{（-\frac{2}{a}）^2}=\frac{4}{{3{a^2}}}$； 
极小值为f（0）=0．…（8分）
（Ⅱ） 若存在${x_0}∈（-1，-\frac{1}{2}）∪（-\frac{1}{2}，0）$，使得$f（{x_0}）=f（-\frac{1}{2}）$，
则由（Ⅰ）可知，需要$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2}{a}＜-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{a}＞-1\\ f（-1）＜f（-\frac{1}{2}）\end{array}\right.$（如图1）或$-\frac{3}{a}＜-\frac{1}{2}＜-\frac{2}{a}$（如图2）
（图1），

（图2），
于是可得$a∈（\frac{18}{7}，4）∪（4，6）$．…（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．