Question

15．锐角α，β满足cosα=$\frac{12}{13}$，cos（2α+β）=$\frac{3}{5}$，那么sin（α+β）=（　　）

• A． $\frac{63}{65}$
• B． $\frac{53}{65}$
• C． $\frac{33}{65}$
• D． $\frac{33}{65}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin（2α+β）的值，再根据sin（α+β）=sin[（2α+β）-α]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．

解答 解：∵锐角α，β满足cosα=$\frac{12}{13}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{5}{13}$，∴α∈（0，$\frac{π}{6}$），2α+β∈（0，$\frac{5π}{6}$）．
∵cos（2α+β）=$\frac{3}{5}$，∴2α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（2α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（2α+β）}$=$\frac{4}{5}$，
那么sin（α+β）=sin[（2α+β）-α]=sin（2α+β）cosα-cos（2α+β）sinα=$\frac{4}{5}•\frac{12}{13}$-$\frac{3}{5}•\frac{5}{13}$=$\frac{33}{65}$，
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．