Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*）
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列；并求此数列的通项a_n；
（2）设数列b_n=

1

log2(an+1)log2(an+1+1)

，记T_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

T_n的值．   
（3）若数列{C_n}满足C₁=10，C_n+1=100C_n，求数列{C_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的极限

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）构造可得a_n+1=2（a_n-1+1），从而可得数列{a_n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a_n+1，进而可求a_n；
（2）利用裂项法求和，即可求T_n=b₁+b₂+…+b_n，从而求

lim

n→∞

T_n的值．   
（3）先证明{lgC_n}是以2为公差的等差数列，即可求数列{C_n}的通项公式．

解答： （1）证明：∵a_n=2a_n-1+1
∴a_n+1=2a_n-1+2
∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∴数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列 …2′
又∵a₁=1，∴a₁+1=2
∴a_n+1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1….2′
（2）解：∵b_n=

1

log2(an+1)log2(an+1+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

….2′
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
∴

lim

n→∞

T_n=1  ….2′
（3）解：∵C_n+1=100C_n
∴lgC_n+1=2+lgC_n，….2
∴{lgC_n}是以2为公差的等差数列…..1
又∵C₁=10，∴lgC₁=1
lgC_n=1+（n-1）×2=2n-1
∴C_n=10^2n-1，（n∈N^*）…1．

点评：本题的考点是数列递推式，主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，考查数列求和，关键是构造等比数列的方法的应用．