Question

在数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，等式：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=（n•2ⁿ-2ⁿ+1）t恒成立，其中常数t≠0．
（1）求a₁，a₂的值；          
（2）求证：数列{2^a_n}为等比数列；
（3）如果关于n的不等式

m

a1

+

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞0的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，试求实数t、m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）在题目给出的等式中分别取n=1，2，联立方程组即可求得a₁，a₂的值；
（2）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，两式作差后得到n≥2时的通项公式，验证n=1后代入数列{2^a_n}，然后利用等比数列的定义加以证明；
（3）结合（2）把原不等式转化为为

m

t

+

1

t

(1-

1

2n

)＞0，对t分类后进一步得到m＞

1

2n

-1或m＜

1

2n

-1，然后结合关于n的不等式

m

a1

+

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞0的解集为{n|n≥3，n∈N^*}及指数函数的性质得到t和m的取值范围．

解答： （1）解：∵a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)t，
∴a1=(21-21+1)t，a1+2a2=(2•22-22+1)t，
解得 a₁=t，a₂=2t；
（2）证明：当n≥2时，由a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)t，①
得a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=[(n-1)•2n-1-2n-1+1]t，②
将①，②两式相减，得2n-1an=(n•2n-2n+1)t-[(n-1)•2n-1-2n-1+1]t，
化简，得a_n=nt，其中n≥2．
∵a₁=t，
∴a_n=nt，其中n∈N^*．
∵

2an

2an-1

=2an-an-1=2t(n≥2)为常数，
∴数列{2an}为等比数列；
（3）解：由（2）得a2n=2nt，
∴

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

=

1

2t

+

1

4t

+…+

1

2nt

=

1

t

×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

t

(1-

1

2n

)，
又∵a₁=t，
∴原不等式可化简为

m

t

+

1

t

(1-

1

2n

)＞0，
①当t＞0时，不等式

m

t

+

1

t

(1-

1

2n

)＞0?m＞

1

2n

-1，
由题意知，不等式m＞

1

2n

-1的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，
∵函数y=(

1

2

)x-1在R上单调递减，
∴只要m＞

1

23

-1且m≤

1

22

-1即可，
解得-

7

8

＜m≤-

3

4

；
②当t＜0时，不等式

m

t

+

1

t

(1-

1

2n

)＞0?m＜

1

2n

-1，
由题意，要使不等式m＜

1

2n

-1的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，
∵

1

23

-1＜

1

22

-1，
∴如果n=3时不等式成立，那么n=2时不等式也成立，
这与题意不符，舍去．
综上所述：t＞0，-

7

8

＜m≤-

3

4

．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了由数列递推式求数列的通项公式，考查了数学转化思想方法，综合考查了学生分析问题和理解问题的能力，属难度较大的题目．