Question

已知，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设直线与、均相切，切点分别为（）、（），且，求证：.

Answer 1

(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)见解析.

解析试题分析：(Ⅰ)先构造函数，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是，找到关系；再构造函数，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是，找到关系.从而证得“”；(Ⅲ)先求出以及，根据导数与切线方程的关系，由斜率不变得到，再根据两点间的斜率公式得到.首先由指数函数的性质可得，那么，然后由得到，解得.
试题解析：（Ⅰ）令，.          1分
令，解得.
当时，；当，时.
∴当时，，
∴.                                            3分
令，.           4分
令，解得.
当时，；当时，.
∴当时，，
∴，                                    6分
∴.                                  7分
（Ⅲ），，切点的坐标分别为，可得方程组：
         11分
∵，
∴，∴，
∴.                            12分
由②得，，∴，         13分
∵，∴，∴，即，
∴.                    14分
考点：1.分类讨论思想；2.函数的单调性与导数的关系；3.对数函数的性质；4.指数函数的性质；5.利用导数研究曲线的切线方程