Question

3．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的$\overrightarrow a=（m，n），\overrightarrow b=（p，q）$（其中m，n，p，q均为实数），令$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b=mq-np$．在下列说法中：
（1）若向量$\overrightarrow a与\overrightarrow b$共线，则$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b=0$；
（2）$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b=\overrightarrow b⊙\overrightarrow a$；
（3）对任意$λ∈R，有（λ\overrightarrow a）⊙\overrightarrow b=λ（\overrightarrow a⊙\overrightarrow b）$；
（4）${（\overrightarrow a⊙\overrightarrow b）^2}+{（\overrightarrow a•\overrightarrow b）^2}={|{\overrightarrow a}|^2}{|{\overrightarrow b}|^2}$（其中$\overrightarrow a•\overrightarrow b$表示$\overrightarrow a与\overrightarrow b$的数量积，$|{\overrightarrow a}$|表示向量的模）．
正确的说法是（1），（3），（4）．（写出所有正确的说法的序号）

Answer 1

分析 根据新定义，逐项计算式子的两端，验证是否相等．

解答 解：对于（1），若向量$\overrightarrow a与\overrightarrow b$共线，则mq-np=0，∴$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b=0$，故（1）正确；
对于（2），$\overrightarrow{b}$⊙$\overrightarrow{a}$=pn-qm，$\overrightarrow a⊙\overrightarrow b=mq-np$，故（2）不正确；
对于（3），（$λ\overrightarrow{a}$）⊙$\overrightarrow{b}$=（λm，λn）⊙（p，q）=λmq-λnp，λ（$\overrightarrow{a}$⊙$\overrightarrow{b}$）=λ（mq-np）=λmq-λnp．故（3）正确；
对于（4），（$\overrightarrow{a}$⊙$\overrightarrow{b}$）²+（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²=（mq-np）²+（mp+nq）²=m²q²+n²p²+m²p²+n²q²=（m²+n²）（p²+q²），|$\overrightarrow{a}$|²=m²+n²，|$\overrightarrow{b}$|²=p²+q²，故（4）正确．
故答案为：（1），（3），（4）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算和新定义运算，根据新定义计算是关键．