Question

【题目】设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|= |F1F2|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1 ， 经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的右焦点为F2（c，0），

由|AB|= |F1F2|，可得 ，化为a2+b2=3c2．

又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．

∴e= ．

（2）解：由（1）可得b2=c2．因此椭圆方程为 ．

设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得 =（x0+c，y0）， =（c，c）．

∵ ，

∴ =c（x0+c）+cy0=0，

∴x0+y0+c=0，

∵点P在椭圆上，∴ ．

联立 ，化为 =0，

∵x0≠0，∴ ，

代入x0+y0+c=0，可得 ．

∴P ．

设圆心为T（x1，y1），则 =﹣ ， = ．

∴T ，

∴圆的半径r= = ．

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．

∵直线l与圆相切，

∴ ，

整理得k2﹣8k+1=0，解得 ．

∴直线l的斜率为 ．

【解析】（1）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|= |F1F2|．可得 ，再利用b2=a2﹣c2 ， e= 即可得出．（2）由（1）可得b2=c2 ． 可设椭圆方程为 ，设P（x0 ， y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得 ， ．利用圆的性质可得 ，于是 =0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得 ．联立可得 =0，解得P ．设圆心为T（x1 ， y1），利用中点坐标公式可得T ，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．