Question

【题目】已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（0，1）∪（9，+∞）
【解析】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，
当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，
则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|= ，
当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），
即x2+（3﹣a）x+a=0，
则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，
当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，
要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，
若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，
此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，
即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，
则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
若x=1，则4=0不成立，
故x≠1，
则方程等价为a= = =| |=|x﹣1+ +5|，
设g（x）=x﹣1+ +5，
当x＞1时，g（x）=x﹣1+ +5≥ ，当且仅当x﹣1= ，即x=3时取等号，
当x＜1时，g（x）=x﹣1+ +5 =5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣ ，即x=﹣1时取等号，
则|g（x）|的图象如图：
若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，
则满足a＞9或0＜a＜1，
所以答案是：（0，1）∪（9，+∞）