Question

7．三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1．则下列结论中正确的是①PA⊥BC②△ABC为正三角形③体积为$\frac{1}{2}$④表面积为$\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，将你认为正确的序号填上①②④．

Answer 1

分析 利用线面垂直的判定定理和性质，可判断①；判断△ABC的面积，可判断②；求出棱锥的体积，可判断③；求出棱锥的体表面积，可判断④

解答 解：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC?平面PBC，
∴PA⊥平面PBC，
又∵BC?平面PBC，
∴PA⊥BC，故①正确；
∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1．
∴AB=AC=BC=$\sqrt{2}$，故△ABC为正三角形，故②正确；
三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×1=$\frac{1}{6}$，故③错误；
三棱锥P-ABC的表面积S=3×$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{\sqrt{3}}{4}×{\sqrt{2}}^{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，故④正确；
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了空间线面关系的判定，棱锥的体积和表面积，难度不大，属于基础题．